数学领域泛函分析中，最著名的悬而未决的问题之一就是不变子空间问题，有时被乐观地称为不变子空间猜想。这个问题就是如下命题是否成立： 给定一个复希尔伯特空间H，其维度>1，以及一个有界线性算子T : H → H，则H有一个非平凡闭T-不变子空间，也即存在一个H的闭线性子空间W，而且它不同于{0}和H，且使得T(W) ⊆ W。 该命题对于所有2维以上有限维复向量空间是成立的：一个线性算子（矩阵）的特征值是其特征多项式的零点；根据代数基本定理，这个多项式存在零点；一个对应的特征向量可以张成一个不变子空间。该命题也很容易成立如果W不必是闭的：取任意H中非零向量x并考虑H的由{T n(x) : n ≥ 0}线性张成的子空间W. 虽然该猜想的一般情况未获证明，但已经可以列出命题成立的一些特殊情况： * 在希尔伯特空间H可分的情况下该猜想相对比较容易证明（也即，如果它又一个不可数正交基。 * 谱定理表明所有有不变子空间。 * 每个紧算子有不变子空间，由Aronszajn和Smith于1954年证明。紧算子理论在很多方面和有限维空间算子理论相类似，所以该结果并不令人惊讶。 * 波恩斯坦和洛宾逊于1966年证明若T n对于某个正整数n是紧致的，则T有不变子空间。 * V. I. 罗门诺所夫（Lomonosov）于1973年证明若T和某个非零紧算子可交换，则T有不变子空间。